질문 뒤의 질문
"우주에 질서가 있는 건 만유인력 때문이죠."— 이 대답은 기술적으로는 맞습니다. 하지만 누구도 하지 않은 질문에 답하면서, 정작 중요한 질문을 조용히 건너뛰고 있습니다.
네, 중력이 행성이 타원 궤도를 따라 움직이는 이유를 설명합니다. 그런데 중력은 어디서 왔습니까? 왜 중력은 역제곱 법칙을 정확히 따릅니까? 역세제곱이 아닌, 아니면 근사값이 아닌, 정확히 제곱만큼의 반비례로요. 도대체 왜 아무런 법칙도 없는 순수한 혼돈 대신, 어떤 법칙이라도 존재하는 걸까요?
비슷한 예를 하나 더 생각해 보겠습니다. 어떤 스타크래프트 플레이어가 이런 질문을 합니다. "A를 누르고 마우스로 위치를 클릭하면 왜 제 유닛이 공격하죠?" 누군가 이렇게 대답합니다. "컴퓨터 언어가 그렇게 연산 처리를 하게 되어있으니까요." 기술적으로는 맞는 말입니다. 하지만 더 근본적인 질문은 통째로 비켜갑니다. 컴퓨터 언어는 어디서 왔습니까? 누가 만들었습니까?
과학은 법칙들을 통해 우주가 어떻게 작동하는지 훌륭하게 설명합니다. 그러나 왜 그 특정한 법칙들이 존재하는지, 왜 수학으로 기술될 수 있는지—이 더 깊은 질문은 과학이 가정하지만 답하지 않는 영역입니다.
이 지점에서 수학이 등장합니다. 그리고 여기서부터 이야기가 진짜 이상해지기 시작합니다.
발명인가, 발견인가
수학이 발명인지 발견인지 물으면 많은 사람이 '발명'이라고 대답합니다. 직관적으로 맞는 것처럼 들립니다. 인간이 숫자와 기호와 표기법을 만들었으니까요. 우리가 미적분을 만들었으니까요. 정말 그럴까요?
이론 물리학자 미치오 가쿠는 이런 흥미로운 말을 합니다. "수학자들은 자신들의 수학이 쓸모없기를 바랍니다. 그들은 실용적인 응용이 전혀 없는 것을 연구한다는 사실에 대단한 자부심을 갖죠."
그 자부심은 정확히 순수한 탐구를 하고 있다는 데서 옵니다. 물리적 현실과 아무 관련도 없어 보이는 추상적 구조를 탐구하는 것이죠. 그런데 그 '쓸모없는' 추상들이 우주를 놀라울 정도로 정확하게 묘사한다는 게 거듭거듭 밝혀집니다.
먼저 '발명' 주장을 직접 검토해봅시다. 숫자 1을 생각해 보겠습니다.
5억 년 전, 캄브리아기의 바다에서 삼엽충 한 마리가 홀로 헤엄치고 있었습니다. 어떤 인간도, 어떤 기호도 존재하지 않던 그 시간에—그 바다에 삼엽충은 몇 마리가 있었습니까?
만약 수학이 인간의 발명이라면 '하나'라는 개념은 아직 존재하지 않아야 합니다. 그러나 삼엽충은 분명히 한 마리였습니다. 수학적 실재는 그것을 기술하는 인간의 기호보다 5억 년 앞서 있었습니다.
우리가 쓰는 아라비아 숫자 '1', 한국어 '하나', 영어 'one'—이것들은 인간이 만든 기호입니다. 하지만 그 기호들이 가리키는 개념은? 수학자들은 수학적 실재가 인간의 마음에 의해 발명되는 것이 아니라, 인간의 마음에 의해 발견되는 것이라는 데 점점 확신을 갖고 있습니다.
그렇다면 수학적 진리는 언제부터 존재했을까요? 과학자들은 수학적 구조가 우주가 시작되기 이전에도—어떤 의미에서는 공간, 시간, 물질에 앞서—'참'이었다고 말합니다. 단지 발명된 것이 어떻게 이럴 수 있습니까?
자신의 성공을 두려워한 수학자
수학의 이 기묘함을 이보다 잘 보여주는 이야기가 없습니다. 고드프리 해럴드 하디의 이야기입니다.
하디는 20세기 최고의 순수 수학자 중 한 명이었습니다. 동시에 세계대전에서 수학이 대량 살상 무기 개발에 이용된 것에 깊은 도덕적 혐오감을 느낀 사람이기도 했습니다. 그래서 그는 유명한 선언을 남겼습니다.
"나는 지금까지 수학에서 실용적인 것을 해본 적이 없습니다. 나의 그 어떤 발견도, 직접적으로나 간접적으로나, 선을 위해서나 악을 위해서나, 이 세상을 조금도 변화시키지 않았고 앞으로도 변화시키지 않을 것입니다."
— G. H. 하디, 『어느 수학자의 변명』(1940)하디는 안전하다고 믿었습니다. 그는 순수 정수론이라는 고결한 영역에서 작업하고 있었고—현실 세계와는 절대 접촉할 수 없는 수학이라고 생각했습니다.
그는 틀렸습니다. 전혀 예상치 못한 방식으로요.
- 그가 거의 메모 수준으로 개발한 하디-바인베르크 원리는 집단 유전학의 토대가 되었습니다. 지금 이 원리는 진화, 질병, 유전 질환 이해의 근간을 이루고 있습니다.
- 하디-라마누잔 정수 분할 점근 공식은 물리학자 한스 베테가 1936년 원자핵 에너지 준위 밀도를 계산하는 데 적용했습니다. 이는 핵물리학의 핵심 도구가 되었고, 이후 비상호작용 보스-아인슈타인 계의 열역학적 함수를 유도하는 데에도 사용되었습니다.
일부 자료에는 이 공식을 닐스 보어가 사용했다고 기록되어 있으나, 원자핵에 직접 적용한 것은 한스 베테(Hans Bethe, 1936)입니다. 보어와 칼카르(Kalckar, 1937)는 이를 바탕으로 복합핵 이론을 발전시켰습니다.
결국 하디는 철학적 항복처럼 읽히는 고백을 남깁니다.
"개인적으로 나는 수학적 실재가 우리 외부에 존재하며, 우리의 역할은 그것을 발견하거나 관찰하는 것이라고 생각합니다. 우리가 증명했거나 우리의 창조물인 것처럼 떠들어 대는 수학적 정리들은 단지 우리가 관찰한 것의 기록에 불과합니다."
— G. H. 하디, 『어느 수학자의 변명』(1940)자신의 연구가 절대 쓸모없기를 간절히 바랐던 무신론자 하디는, 결국 수학이 인간의 마음 밖에 존재한다고 고백해야 했습니다. 발명이 아닌 발견이라고. 그리고 그 수학은 아무도 예상치 못한 방식으로 계속해서 물리 세계로 손을 뻗어 들어왔습니다.
위그너의 폭탄 논문
1960년, 노벨 물리학상 수상자 유진 위그너는 과학철학사에서 가장 많이 인용되는 논문 중 하나를 발표합니다.
제목: 「자연과학에서 수학의 지나친 효용성(The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences)」
위그너의 논증은 단순하지만 충격적이었습니다. 수학자들은 물리적 현실과 아무런 관련 없이, 오직 심미적 혹은 논리적 이유로 추상적 구조를 개발합니다. 그런데 수십 년, 때로는 수백 년이 지나면 물리학자들이 그 구조가 자연을 기술하는 데 정확히 필요한 것임을 발견합니다.
이런 일이 너무 자주, 너무 정확하게 일어납니다. 위그너는 이것을 "기적"이라고 부르며 합리적인 설명을 갖고 있지 않다고 고백했습니다.
천문학자 마리오 리비오는 저서 『신은 수학자인가?』에서 수학의 효용성이 너무 심오하여 단순한 우연 이상의 설명을 요구한다는 결론에 도달합니다. 한국의 박환석 선생님 역시 『수학에서 발견한 창조주』에서 같은 지점에 다다릅니다.
"수학은 결국 경험과 무관한 인간 사고의 산물인데, 그런 수학이 어떻게 물리적 실재의 대상에 이토록 놀랍도록 들어맞을 수 있을까?"
— 알베르트 아인슈타인세상을 놀라게 한 8가지 예측
수학의 가장 놀라운 특징은 이미 아는 것을 묘사한다는 게 아닙니다. 아직 보이지 않는 것을—때로는 수십 년 앞서—예측한다는 것입니다.
프랑스 수학자 위르뱅 르베리에는 천왕성 궤도의 미세한 불규칙성을 발견했습니다. 뉴턴의 방정식만으로 보이지 않는 행성의 정확한 위치를 계산했습니다. 천문학자들이 망원경을 그가 예측한 좌표로 돌리자, 해왕성이 그 자리에 있었습니다—예측에서 1° 이내로.
1년 후 발견제임스 클러크 맥스웰은 전기와 자기를 네 개의 방정식으로 통합했습니다. 방정식은 초속 30만 km로 이동하는 파동을 예측했는데, 이것이 빛의 속도였습니다. 그는 여기서 빛이 전자기파라고 결론 내렸습니다. 헤르츠가 22년 후 실험으로 확인했습니다.
22년 후 확인베른하르트 리만은 순수한 상상으로 곡면 기하학을 개발했습니다. 공간이 휠 수 있다고 생각한 사람이 아무도 없던 시절이었습니다. 수십 년 후 아인슈타인이 리만의 연구를 발견하고 일반 상대성 이론을 구축했습니다. 우주는 처음부터 휘어 있었고, 한 수학자가 먼저 그것을 기술했습니다.
62년 후 활용폴 디랙은 하나의 방정식에 양자역학과 특수 상대성 이론을 결합했습니다. 방정식에는 두 개의 해가 있었는데, 하나는 전자, 다른 하나는 같은 질량의 반대 전하를 가진 '거울' 입자였습니다. 그는 이 입자가 반드시 존재해야 한다고 예측했습니다. 4년 후 칼 앤더슨이 양전자를 발견했습니다.
4년 후 확인피터 힉스는 수학을 이용해 다른 입자들에 질량을 부여하는 입자를 예측했습니다. 당시 실험적 증거는 전혀 없었습니다. 그로부터 거의 반 세기 후, CERN의 대형 강입자 충돌기에서 수학이 묘사한 그대로의 입자가 발견되었습니다.
48년 후 확인아인슈타인의 장방정식은 가속하는 질량이 시공간에 잔물결을 일으킨다고 예측했습니다. 거의 한 세기가 지나, LIGO의 레이저 간섭계가—양성자 지름의 1,000분의 1 수준의 변형도 감지하는—2015년 9월 14일 마침내 이 파동을 확인했습니다.
99년 후 확인칼 슈바르츠실트는 1차 세계대전 참호 속에서 아인슈타인의 장방정식을 풀다 수학적 특이점을 발견했습니다. 지금 우리가 블랙홀이라 부르는 것이었습니다. 아인슈타인조차 처음엔 물리적으로 불가능하다고 여겼습니다. 한 세기 후, 사건의 지평선 망원경이 첫 이미지를 촬영했습니다.
103년 후 확인하디가 라마누잔과 함께 만든 '완전히 학문적인' 정수 분할 공식은, 한스 베테가 1936년 핵 에너지 준위 밀도 계산에 적용하면서 핵물리학의 토대가 되었습니다. 하디가 쓸모없다고 확신했던 연구가 인류 역사상 가장 강력한 에너지 이론의 기초가 된 것입니다.
예상 밖의 쓸모각 사례는 동일한 놀라운 패턴을 따릅니다. 물리적 현실과 아무 관련 없이 개발된 수학이, 나중에 현실이 따라와 방정식과 정확히 일치합니다. 이것은 공학이 아닙니다. 알려진 수학을 응용한 것도 아닙니다. 순수한 추상적 사고가 아직 발견되지 않은 물리적 사실을 기술한 것입니다.
자연에 새겨진 수학
물리학만이 아닙니다. 생물학과 자연 세계 전반에 걸쳐, 아무도 '기록해 두지 않은' 수학적 패턴이 나타납니다.
피보나치 수열
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…—중세 수학자 레오나르도 피보나치가 연구한 이 수열은 단순한 규칙을 따릅니다. 앞의 두 수를 더하면 다음 수가 나옵니다. 식물을 위해 설계된 것이 아닌데도 식물들은 이 수열을 따릅니다.
해바라기
해바라기 씨앗 나선은 피보나치 수로 배열됩니다. 보통 한 방향으로 34개, 다른 방향으로 55개의 나선이 있습니다. 큰 품종은 55/89입니다. 이 배열이 씨앗 밀도를 최대화합니다.
앵무조개
성장 챔버의 비율이 황금비 φ ≈ 1.618을 따릅니다. 새로운 챔버는 이전 챔버의 φ 배입니다. 황금비는 피보나치 수열에서 파생됩니다.
솔방울과 파인애플
솔방울은 한 방향으로 8개, 다른 방향으로 13개의 나선을 보입니다. 파인애플은 8/13 또는 13/21개의 나선을—모두 연속된 피보나치 쌍으로 나타납니다.
나선 은하
나선 은하는 황금비와 수학적으로 연관된 로그 나선을 따릅니다. 앵무조개 껍데기에서부터 수십억 광년에 걸친 구조까지 같은 비율이 나타납니다.
소수를 이용하는 매미
북미의 주기성 매미들은 13년 또는 17년마다 땅 위로 나옵니다—둘 다 소수입니다. 이것은 우연이 아닙니다. 생물학자들은 소수 주기가 2년, 3년, 4년, 5년 주기를 가진 포식자들과의 겹침을 최소화한다는 것을 확인했습니다.1 이 곤충들은 진화를 통해 정수론 문제를 '풀어낸' 것입니다.
그런데 누가 소수의 원리를 생물학에 새겨넣었습니까? 무작위 과정이요? 아니면 수학으로 말하는 무언가요?
DNA의 황금비
DNA 이중 나선은 34 옹스트롬마다 한 바퀴를 돌며, 너비는 21 옹스트롬입니다. 비율: 34/21 ≈ 1.619—황금비 φ에 거의 정확히 일치합니다. 이 두 수는 연속된 피보나치 수입니다. 생명의 분자가 피보나치 비율로 설계되어 있습니다.
동일한 수학 상수들이 아원자 입자, 생물 유기체, 행성 궤도, 은하 구조에서 나타납니다. 서로 다른 규모들이 같은 수학을 공유하도록 강제하는 물리적 메커니즘은 없습니다. 그런데 그들은 그렇게 합니다.
오일러의 불가능한 방정식
"수학에서 가장 아름다운 방정식"이라 불리는 것 없이는 이 논의가 완결되지 않습니다.
수학의 다섯 가지 기본 상수—e, i, π, 1, 0—가, 각각 완전히 다른 영역에서 독립적으로 발견된 것들이, 하나의 완벽한 관계로 결합됩니다.
이 다섯 숫자는 전혀 다른 영역에서 왔습니다.
- e ≈ 2.718 — 자연 로그의 밑, 복리 계산 연구에서 발견
- i = √-1 — 실수 해가 없는 방정식을 풀기 위해 발명된 '허수'
- π ≈ 3.14159 — 원의 둘레와 지름의 비율
- 1 — 곱셈의 항등원
- 0 — 덧셈의 항등원
이것들은 함께 개발된 것이 아닙니다. 기하학, 대수학, 해석학, 정수론—서로 다른 세기, 서로 다른 수학자, 서로 다른 문제에서 왔습니다. 그런데 이것들이 하나의 완벽하고 단순한 관계를 이룹니다.
20세기 최고의 물리학 소통자 리처드 파인만은 오일러의 항등식을 "수학에서 가장 놀라운 공식"이라고 불렀습니다. 이 방정식은 왜 서로 다른 수학적 진리들이 이처럼 완벽하게 맞아 떨어지는지 묻게 만듭니다.
핵심 질문은 "이거 신기하지 않아요?"가 아닙니다. 왜 수학이 이처럼 일관성을 갖는가?입니다. 완전히 다른 목적을 위해 독립적으로 개발된 개념들이 이토록 완벽하게 맞아 떨어지는 것을 누가, 혹은 무엇이 보장하는 걸까요?
단 두 가지 가능성
우리가 확인한 것을 분명히 정리해봅시다.
수학은 물리학을 위해 설계되지 않았습니다. 그런데 물리학을 불가능할 정도로 정확하게 기술합니다. 추상적 고립 속에서 개발된 수학적 구조들이 수십 년 후 물리적 현실을 완벽하게 모델링합니다. 동일한 수학 상수들이 DNA부터 은하까지 우주의 모든 규모에서 나타납니다.
초등학교 2학년 학생을 생각해 보겠습니다. 그 나이에 아이는 한 자리 곱셈을 겨우 합니다. 이제 이 아이가—더 이상의 교육도, 계산기도 없이—10자리 곱셈 문제를 1초 만에 암산으로 정확히 풀어낸다고 상상해 보십시오. 그 다음엔 미적분을. 그 다음엔 양자 장 방정식을. 매번 완벽하게.
"그래서 뭐?"라고 넘길 사람이 있을까요? 없습니다. 전 세계 신문 1면에 대서특필될 일입니다. 설명을 요구하는 깊은 미스터리로 여겨질 것입니다.
그런데 우주는—무신론적 설명에 따르면 어떤 지적 능력도 없는 폭발에서 태어난 우주는—인간이 수천 년에 걸쳐 개발한 수학적 구조를 지속적으로, 정확하게 구현하고 있습니다. 우주는 배운 적 없는 방정식을 풀고 있습니다.
선택지 1: 엄청난 우연. 우주가 수학적 기초 위에 세워져 있고, 수학이 우주를 기술하는 것은 아무런 근본적인 이유가 없는 우연입니다.
선택지 2: 수학적 마음. 우주가 수학적으로 작동하는 것은, 수학적으로 사고하는 지성—수학이 모국어인 창조주—에 의해 설계되었기 때문입니다.
MIT의 물리학자 막스 테그마크는 우주가 문자 그대로 수학적 구조라는 급진적인 제안을 했습니다. 물리적 현실이 곧 수학이라는 것이죠. 이 급진적인 제안조차도 암묵적으로 질문을 제기합니다. 그 특정한 수학적 구조를 실체화한 것은 누구 혹은 무엇입니까?
위그너 자신은 이것을 "기적"이라고 불렀습니다—신중하게 선택한 단어였습니다. 그는 자연주의적 설명을 갖고 있지 않았습니다. 종교적이지 않은 많은 물리학자들도 이 질문의 깊이에 진심으로 당혹스러워합니다.
결론
한 마음의 언어
하디는 수학이 인간의 사고 밖에 존재한다고 고백했습니다. 위그너는 그 효용성을 기적이라고 불렀습니다. 아인슈타인은 어떻게 이럴 수 있는지 물었습니다. 디랙, 리만, 르베리에, 힉스—이들은 모두 자신의 추상적 방정식이 한 번도 관측한 적 없는 우주를 묘사했다는 사실에 경이로움을 느꼈습니다.
우주는 느슨하거나 비유적인 의미에서 수학적인 것이 아닙니다. 양자역학에서, 시공간 기하학에서, DNA 구조에서, 매미들의 소수 생존 전략에서—우주는 가장 깊은 층위에서 수학적입니다.
두 가지 선택이 있습니다. 마음도 계획도 지성도 없는 우주가 놀라운 정밀성과 일관성을 가진 수학적 구조를 자발적으로 생성했거나. 아니면 우주가 수학 위에 세워진 것은, 수학이 모국어가 아닌 인간의 발견이 아닌, 창조주의 사고방식 자체이기 때문이거나.
합리적인 마음에게 두 번째 선택지는 증거를 거부하는 믿음이 아닙니다. 증거가 가리키는 가장 자연스러운 결론으로 이성을 따라가는 것입니다.
참고 문헌 및 추가 읽기
- Wigner, E. P. (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences." Communications on Pure and Applied Mathematics, 13(1), 1–14.
- Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press.
- Livio, M. (2009). Is God a Mathematician? Simon & Schuster. [한국어판: 『신은 수학자인가?』]
- 박환석. 수학에서 발견한 창조주.
- Bethe, H. A. (1936). "An Attempt to Calculate the Number of Energy Levels of a Heavy Nucleus." Physical Review, 50(4), 332–341. [하디-라마누잔 공식의 핵물리학 적용; 보어(Bohr)가 아닌 베테(Bethe)에 의한 것임을 주의]
- Le Verrier, U. J. J. (1846). 해왕성 위치의 수학적 예측. Comptes rendus de l'Académie des sciences.
- Einstein, A. (1916). "Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie." Annalen der Physik.
- LIGO Scientific Collaboration (2016). "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger." Physical Review Letters, 116(6).
- Higgs, P. W. (1964). "Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons." Physical Review Letters, 13(16), 508–509.
- Dirac, P. A. M. (1928). "The Quantum Theory of the Electron." Proceedings of the Royal Society A, 117(778), 610–624.
- Yoshimura, M. (1997). 매미의 소수 생애 주기에 관한 연구. Nature.
- Tegmark, M. (2008). "The Mathematical Universe." Foundations of Physics, 38(2), 101–150.